什么是赋范线性空间、内积空间，度量空间，希尔伯特空间 ？
qang pan 的解释
现代数学的一个特点就是以集合为研究对象，这样的好处就是可以将很多不同问题的本质抽象出来，变成同一个问题，当然这样的坏处就是描述起来比较抽象，很多人就难以理解了。既然是研究集合，每个人感兴趣的角度不同，研究的方向也就不同。为了能有效地研究集合，必须给集合赋予一些“结构”（从一些具体问题抽象出来的结构）。从数学的本质来看，最基本的集合有两类：线性空间（有线性结构的集合）、度量空间（有度量结构的集合）。对线性空间而言，主要研究集合的描述，直观地说就是如何清楚地告诉地别人这个集合是什么样子。为了描述清楚，就引入了基（相当于三维空间中的坐标系）的概念，所以对于一个线性空间来说，只要知道其基即可，集合中的元素只要知道其在给定基下的坐标即可。但线性空间中的元素没有“长度”（相当于三维空间中线段的长度），为了量化线性空间中的元素，所以又在线性空间引入特殊的“长度”，即范数。赋予了范数的线性空间即称为赋犯线性空间。但赋范线性空间中两个元素之间没有角度的概念，为了解决该问题，所以在线性空间中又引入了内积的概念。因为有度量，所以可以在度量空间、赋范线性空间以及内积空间中引入极限，但抽象空间中的极限与实数上的极限有一个很大的不同就是，极限点可能不在原来给定的集合中，所以又引入了完备的概念，完备的内积空间就称为Hilbert空间。这几个空间之间的关系是：线性空间与度量空间是两个不同的概念，没有交集。赋范线性空间就是赋予了范数的线性空间，也是度量空间（具有线性结构的度量空间）内积空间是赋范线性空间希尔伯特空间就是完备的内积空间。
TimXP 的解释
我们一般接触的是线性空间（向量空间） ，首先看线性空间和各种空间之间的关系：
- Linear Space 线性空间（向量空间）。线性空间又称作向量空间，关注的是向量的位置，对于一个线性空间，知道基（相当于三维空间中的坐标系）便可确定空间中元素的坐标（即位置）；线性空间只定义了加法和数乘运算。如果我们想知道向量的长度怎么办？—-定义范数，引入赋范线性空间
- Normed Linear Space 赋范线性空间定义了范数的线性空间！如果我们想知道向量的夹角怎么办？—-定义内积，引入内积空间
- Inner Product Space 内积空间定义了内积的线性空间！
- Euclid Space 欧式空间定义了内积的有限维实线性空间！！如果我们想研究收敛性（极限）怎么办？—-定义完备
- Banach Space 巴纳赫空间，完备的赋范线性空间！
- Hilbert Space 希尔伯特空间完备的内积空间！（极限运算中不能跑出度量的范围）
他们之间的关系可以用下图表示：
| 相关资料 | 说明 |
|---|---|
| 如何理解希尔伯特空间？ | 知乎问答 |
